B部分 传感器的基本特性

传感器的基本特性是指它的输出与输入关系。由于传感器的输出与输入通常是可供观测的量，因此传感器的基本特性就是传感器的外部特性。

根据传感器的输入量随时间变化的情况，将传感器的基本特性分为静态特性和动态特性。静态特性指传感器的输入量不随时间变化或变化缓慢时的输出与输入关系。动态特性则是指当输入量随时间变化的情况下传感器的输出与输入关系。由于不同传感器有不同的内部结构参数，因此它们的静态特性和动态特性也表现出不同的特点，对测量结果的影响也各不相同。一个高精度传感器必须有良好的静态和动态特性，这样它才能完成信号的无失真转换。

1.5 传感器的静态特性

传感器的静态特性也可指当输入恒定或缓变地被测量时，传感器的输出量与输入量之间所具有的关系。因为这时输入量和输出量都和时间无关，所以它们之间的关系即传感器的静态特性可用一个不含时间变量的代数方程来描述，或以输入量作为横坐标，把与其对应的输出量作为纵坐标而画出的特性曲线来描述，如图1.8所示。表征传感器静态特性的主要参数有线性度、灵敏度、分辨力和迟滞等。

1.5.1 传感器的静态模型

传感器的静态模型就是对传感器静态特性的数学描述方程式。一般情况下，在不考虑传感器特性中的迟滞、蠕变等因素时，传感器的静态特性可用多项式代数方程来表示：

y＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn （1-1）

式中，y为传感器输出量；x为传感器输入量；a0为零位输出；a1为传感器的线性灵敏度，常用K或S表示；a2，a3，…，an为非线性项的待定常数。

实际应用的大多数传感器，其静态特性方程的次数一般不超过五次。比较常见的方程形式如下：

（1）理想线性特性。当a0＝a2＝a3＝…＝an＝0时，得到

y＝a1x （1-2）

传感器的输出与输入为线性关系，即理想线性如图1.8（a）所示。

（2）仅有一次项和偶次方非线性项。如图1.8（b）所示。其特性曲线方程为

y＝a1x+a2x2+a4x4+… （1-3）

这种特性曲线没有对称性，只在零点附近有较小线性范围，一般情况下传感器设计中不采用这种特性。

（3）仅有奇次方非线性项。如图1.8（c）所示。其曲线方程为

y＝a1x+a3x3+a5x5… （1-4）

特性曲线对原点对称，在原点附近较宽的输入范围内有线性特征，即接近理想线性。不少差动式传感器具有这种特性。

从不失真测量和减小误差的角度考虑，传感器理想的输出与输入关系最好是式（12）描述的线性关系，因为该线性关系具有如下优点：

（1）没有非线性误差，无须在信号变换和处理中采用非线性补偿模块。

（2）极大地简化传感器的设计分析工作。

（3）极大地方便了测量数据的处理和传感器的标定。因为，只要知道输出与输入特性直线上的两个点（一般为零点和满量程点），就可确定其余各点。

（4）仪表刻度盘可均匀刻度，制作、安装、调试方便，精度高。

实际传感器的输出与输入关系往往是如图1.8（b）、（c）、（d）所示的非线性关系，这就必须在传感器或其后续电路中进行非线性化补偿。在配有计算机的传感器应用系统中，也可采用软件方式进行非线性补偿。

1.5.2 传感器的静态特性指标

描述传感器的静态特性的重要指标有线性度、迟滞、重复性、灵敏度、分辨力和漂移等。

1.线性度（Linearity）

实际应用的传感器的输出与输入关系多为非线性曲线。但是为了应用上的方便，希望得到线性关系的特性曲线。这时，在总体误差允许的条件下，可以用直线来近似地代表实际曲线。这种方法称为传感器非线性特性的“线性化”，所采用的直线称为拟合直线。在采用直线拟合时，实际输出与输入的特性曲线与拟合直线之间的最大偏差，就称为线性度或非线性误差。通常用相对误差来表示：

式中，eL为线性度（非线性误差），Δmax为输出平均值与拟合直线间的最大偏差；yFS为理论满量程输出值。

非线性误差的大小与拟合直线有很大关系，拟合直线不同，非线性误差也不同。所以，选择拟合直线的主要出发点，应是获得最小的非线性误差，即要找到与传感器实际特性曲线最贴近的拟合直线。当然，还应考虑直线拟合计算是否便捷。

常用的拟合方法有理论直线拟合、端点连线拟合、端点连线平移拟合及最小二乘法拟合等，如图1.9所示。而最小二乘法拟合的拟合精度最高、计算量最大。

最小二乘法拟合按最小二乘原理求取拟合直线，该直线能保证与传感器校准数据的残差平方和最小。设用最小二乘法拟合直线的方程为

y＝b+kx （1-6）

式中，b和k分别为拟合直线的截距和斜率。式中的系数b和k可根据传感器实验校准数据计算求得。

若实际校准测试点有n个，则第i个校准数据与拟合直线上相应值之间的残差为

Δi＝yi-（b+kxi） （1-7）

最小二乘法的原理就是应使残差平方和最小，即最小：

对式（1-8）求k和b的一阶偏导数并令其等于零，即可求得k和b：

将求得的k和b值代入式（16）即可得到拟合直线，然后按（17）式求出残差的最大值Δmax，即可算出非线性误差。

2.迟滞（Hysteresis）

传感器在正向（输入量增大）反向（输出量减小）行程中输出输入曲线不重合的程度称为迟滞特性，如图1.10所示。迟滞现象说明对应于同一大小的输入信号，传感器的输出信号大小不相等，没有唯一性。造成迟滞现象的原因是传感器的机械部分和结构材料方面存在的不可避免的弱点，如轴承摩擦、间隙、紧固件的松动等。

迟滞误差的大小可用式（1-13）表示，即

式中，ΔHmax为正、反向行程间输出的最大绝对误差值，yFS为理论满量程输出值。

3.重复性（Repeatability）

重复性表示传感器在相同的工作条件下，输入量按同一方向作全量程连续多次测试时，输出输入特性曲线的不一致程度（见图1.11）。重复性好的传感器，误差也小。重复性误差的产生与迟滞现象有相同的原因。

重复性指标在数值上用各测量点上正、反行程校准数据平均标准差σ-的三倍与满量程输出yFS的百分数表示：

平均标准差的计算方法有两种：极差法和标准法。一般在测量次数较少（R＝4～9）时，采用极差法为宜，现介绍如下。

极差是指某一测量点校准数据的最大值与最小值之差，计算时，先求出各校准点正、反行程校准数据的极差。按式（1-15）计算出总的平均极差：

式中，Wci为第i个测量点正行程测量数据的极差；Wfi为第i个测量点反行程测量数据的极差。

按式（1-16）计算出传感器重复性的平均标准差：

式中，dR为与测量循环次数R有关的极差系数，见表1-3。

表1-3 极差系数

4.灵敏度（Sensitivity）

传感器输出的变化量Δy与引起该变化量的输入的变化量Δx之比即为其静态灵敏度。灵敏度表达式：

对于线性传感器，其灵敏度为常数，就是传感器特性曲线的斜率。对于非线性传感器，灵敏度是变量，其表达式为

K＝dy/dx

一般要求传感器的灵敏度较高并在满量程内为常数时最好，这就要求传感器的输入输出特性为直线（线性）。

5.分辨力（Resolution）和阈值（Threshold）

分辨力是指传感器能检测到的最小的输入增量。当用最小输入量增量绝对值表示时，称为分辨力；当用最小输入增量与满量程的百分数表示时，称为分辨率。

阈值是指当传感器的输入从零开始逐渐增加，只有在达到了某一最小值后，才测得出输出的变化，这个最小值就称为传感器的阈值。事实上阈值是传感器在零点附近的分辨力。

6.漂移（Drift）

漂移指在一定时间间隔内，传感器输出量存在着与被测输入量无关的、不需要的变化。漂移包括零点漂移与灵敏度漂移。

零点漂移或灵敏度漂移又可分为时间漂移（时漂）和温度漂移（温漂）。时漂是指在规定条件下，零点或灵敏度随时间的缓慢变化；温漂指因周围温度变化引起的零点或灵敏度漂移。

1.6 传感器的动态特性

传感器在测量随时间变化的输入量时其输出输入关系称为动态特性。当输入量随时间变化时，如果传感器能立即不失真地产生响应，即传感器的输出量随时间变化的规律与输入量随时间变化的规律一致，具有与输入量相同的时间函数，这种传感器就是具有理想动态特性的传感器。但实际应用的传感器一般都不具备这种特性，因为在传感器中往往都存在弹性元件（如弹簧、有弹性的材料）、惯性元件（如质量块）或阻尼元件（如电磁阻尼、油阻尼），由此造成传感器的输出量y（t）不仅与输入量x（t）有关，还与输入量的变化速度dx/dt、加速度d2x/dt2等有关。这是造成传感器动态特性与静态特性不同的根本原因。

下面以图1.12所示的玻璃柱式水银温度计为例来说明动态测试时，温度计实际输入与输出的关系。将温度计置于0℃的恒温水槽中一定时间，那么温度计反映出来的温度应为0℃（不考虑其他因素造成的误差）。现在将温度计快速地置于30℃的恒温水槽中，观测水银柱的变化可知，水银柱不是立即达到输入信号的量值，而是经过t0时间逐步地达到输入信号的量值。水银温度计测温过程曲线如图1.13所示。

从测温过程曲线看，在0～t0的时间段，温度计的输出To（t）与被测值30°C存在测量误差，称为动态误差。产生动态误差的原因是液体介质有一定的热容量，产生热惯性。当水的热量传到温度计的液体介质中时，液体介质与水温的平衡有一个过程，这个过程称为动态响应过程，所用的时间就是t0。由于热容量是温度计固有的，所以用水银温度计测量快速变化的温度时，必定产生动态误差。因此，在使用水银温度计时，不能立即读取温度计的显示值，必须经过一定的时间段，才能读取显示值。

从水银温度计的例子可以看出，温度计的材料、结构等内因是造成动态误差的根本原因。任何传感器都会存在这种固有的内因，只不过它们的表现形式和作用程度不同而已。

【特别提示】

1.6.1 传感器的动态数学模型

1.微分方程

在实际工作中要想精确地建立传感器的数学模型是很难的。目前仅能对线性系统作比较完善的数学处理，而且在动态测试中非线性的校正还很难。实际应用中，传感器可以在一定的精度条件下和工作范围内保持线性特性，因而可以作为线性系统来处理。线性系统的数学模型为常系数线性微分方程：

式中，常系数an，an-1，…，a1，a0和bm，bm-1，…，b1，b0均为传感器参数。对传感器而言，除b0≠0，一般b1＝b2＝…＝bm＝0。

【特别提示】

求解微分方程（1-18），可以得到通解（暂态响应）与特解（稳态响应）。其通解仅与传感器本身的特性及初始条件有关，而特解则与传感器的特性及输入量都有关。

2.传递函数

由于求解高阶微分方程很困难，因此，常采用拉普拉斯（简称拉氏）变换的方法，将时域的数学模型（微分方程）转换为复数域的数学模型（传递函数），将微分方程转变为代数方程。

当线性系统的初始条件为零，即在考察时刻以前，其输入量、输出量及其各阶导数均为零，且测试系统的输入x（t）和输出y（t）在t＞0时均满足狄利赫利条件，则定义输出y（t）的拉普拉斯变换Y（s）与输入x（t）的拉普拉斯变换X（s）之比为系统的传递函数，并记为H（s）。即

式中，s称为拉普拉斯算子，是复变数，即s＝a+jb，且a≥0。可以通过拉普拉斯变换的性质推导出线性系统的传递函数表达式。

根据拉普拉斯变换的微分性质：

在初始值为零的条件下对式（1-18）进行拉普拉斯变换，可得

（an·sn+an-1·sn-1+…+a1·s+a0）Y（s）＝（bm·sm+bm-1·sm-1+…+b1·s+b0）X（s） （1-21）

所以

式（1-22）中，an，an-1，…，a1，a0和bm，bm-1，…，b1，b0是由测试系统的物理参数决定的常系数。从式（1-22）可知，传递函数以代数式的形式表征了系统对输入信号的传输、转换特性，它包含了瞬态和稳态时间响应的全部信息。而式（1-18）则是以微分方程的形式表征传感器系统对输入信号的传输、转换特性。因此，传递函数与微分方程两者表达的信息是一致的，只是表达的数学形式不同，研究问题的角度不同。在运算上，传递函数比解微分方程更简便。

当描述传感器特性的微分方程的阶数n＝0时，该传感器称为零阶传感器；同理，n＝1时，称为一阶传感器；n＝2时，称为二阶传感器；n为更大数值时，称为高阶传感器。

式（1-22）还表明，引入传递函数的概念后，在X（s）、Y（s）和H（s）三者之中，只要知道任意两个值，就可以方便地求出第三个值。

3.频率响应函数

研究动态特性的频率响应法是采用谐波输入信号来分析传感器的频率响应特性，即从频域角度研究传感器的动态特性。

将频率为ω的谐波信号x（t）＝X0·ejωt输入式（1-18）所描述的传感器线性系统，在稳定状态下，根据线性系统的频率保持特性，该传感器的输出响应仍然会是一个频率为ω的谐波信号，只是其幅值和相位与输入量有所不同，故其输出量可写成：

y（t）＝Y0·ej（ωt+φ）

式中，Y0和φ为传感器输出量的幅值与初相位。

输入量和输出量及其各阶导数分列如下：

将以上各阶导数的表达式代入式（121）得

［an·（jω）n+an-1·（jω）n-1+…+a1·（jω）+a0］·Y0·ej（ωt+φ）＝［bm·（jω）m+bm-1·（jω）m-1+…+b1·（jω）+b0］·X0·ejωt

于是有

令

式（1-24）表明，传感器的动态响应从时域变换到频域，表示输出信号与输入信号之间的关系随频率而变化的特性，故称为传感器的频率响应特性，简称频率特性或频响特性。

【特别提示】

对于稳定的常系数线性系统，其频率响应函数就是当式（1-22）中的拉氏算子s的实部

为零时的式子，即取a＝0，b＝ω，则s＝jω，则传递函数式变换为频响函数：

式（1-23）的左边与式（125）的右边是完全一样的。这说明式（125）也是传感器的频率响应函数。H（jω）是复函数，它可用复指数形式来表达，也可以写成实部和虚部之和，即

H（jω）＝A（ω）ejφ（ω）＝Re（ω）+jIm（ω） （1-26）

式中，Re（ω）为H（jω）的实部，Im（ω）为H（jω）的虚部，都是频率ω的实函数。

A（ω）是频率响应函数H（jω）的模，即

频率响应函数H（jω）的模A（ω）表达了传感器的输出量、输入量的幅值比随频率变化的关系，称为幅频特性，A（ω）与ω的关系图形则称为幅频特性曲线。

φ（ω）是频率响应H（jω）的幅角，即

式（1-28）表达了传感器的输出量对输入量的相位差随频率的变化关系，称为相频特性，φ（ω）与ω的关系图形则称为相频特性曲线。

式（1-25）表明，常系数线性系统的频率响应函数H（jω）仅仅是频率的函数，与时间、输入量无关；如果系统为非线性，则H（jω）与输入量有关；如果系统为非常系数的，则H（jω）与时间有关。

1.6.2 传感器实现动态测试不失真的频率响应特性

测试的目的就是要求在测试过程中采取各种技术手段，使测试系统的输出信号能够真实、准确地反映被测对象的信息，这种测试称为不失真测试。

一个传感器系统在什么条件下才能保证测量的准确性？图1.14为传感器装置不失真测试的条件，图中的输入量x（t）和传感器的输出量y（t）可能出现以下三种情况：

（1）理想的情况。输出波形与输入波形完全一致，仅仅幅值按比例常数A0进行放大，即输出量与输入量之间满足下列关系式：

y（t）＝A0x（t） （1-29）

（2）输出波形与输入波形相似的情况。输出量不但按比例常数A0对输入量进行了放大，而且还相对于输入量滞后了时间t0，即满足下列关系式：

y（t）＝A0·x（t-t0） （1-30）

（3）失真情况。输出量与输入量完全不一样，产生了波形畸变。

以上三种情况是从传感器输出信号来判断测量是否失真。对传感器系统而言，应具有怎样的动态特性才不会产生失真的测量？很显然，传感器在进行动态测试时，理想的状态就是满足第一种情况或满足第二种情况。由此，可求得测试系统的幅频特性和相频特性在满足不失真测试要求时应具有的条件。分别对式（1-34）和式（1-35）进行傅里叶变换，得

Y（jω）＝A0·X（jω）

Y（jω）＝A0·e-jt0ω·X（jω）

要满足第一种不失真测试情况，传感器的频率响应为

而要满足第二种不失真测试情况，传感器的频率响应为

即传感器要实现动态测试不失真时的幅频特性和相频特性应满足下列要求：

或

φ（ω）＝-t0ω（t0为常数） （1-35）

式（1-33）表明，传感器实现动态不失真测试的幅频特性曲线应当是一条平行于ω轴的直线。式（1-34）和式（1-35）则分别表明，传感器实现动态不失真测试的相频特性曲线应是与水平坐标重合的直线（理想条件）或是一条通过坐标原点的斜直线，如图1.15所示。

应当指出，上述动态测试不失真的条件，是针对系统的输入为多频率成分构成的复杂信号而言的。对于单一成分的正弦信号的测量，尽管系统由于其幅频特性曲线不是水平直线或相频特性曲线与ω不呈线性，致使不同频率的正弦信号作为输入量时，其输出量的幅值误差和相位差会有所不同。但只要知道了系统的幅频特性和相频特性，就可以求得输入某个具体频率的正弦信号时系统输出量与输入量的幅值比和相位差，因而仍可以精确地获得输入信号的波形。所以，对于简单周期信号的测量，从理论上讲，对上述动态测试不失真的条件可以不作严格要求。但应当注意的是，尽管系统的输入量在理论上也许只有简单周期信号，而实际上仍然可能有不可预见的随机干扰信号存在，这些干扰信号仍然会引起响应失真。因此一般来说，为了实现动态测试不失真，都要求系统满足A（ω）＝A0和φ（ω）＝0或φ（ω）＝-t0ω的条件。

1.6.3 典型传感器系统的动态特性分析

常见的传感器都是典型的线性零阶系统、一阶系统或二阶系统。

1.零阶系统的动态特性分析

令传感器的一般微分方程式［见式（1-18）］中的各阶微分项为零，得到零阶系统的数学模型：

其传递函数为

式中，K为传感器的静态灵敏度。

【例1-1】求出图1.16所示的电位器式传感器的数学模型。L为可变电阻的总长度，x为实际测量位置处可变电阻的长度。

解：根据基尔霍夫定律可得

式（1-38）表明，零阶传感器的输入量x（t）无论随时间如何变化，输出量幅值总是与输入量成确定的比例关系，也不产生时间上的滞后。这表明电位器式传感器是零阶传感器。零阶传感器的输出量时间函数与输入量时间函数相同，不产生动态误差。

2.一阶系统的动态特性分析

液体温度传感器、某些气体传感器等都是典型的一阶传感器。令式（1-18）中的一阶微分项以上的各阶微分项为零，就得到一阶系统的微分方程：

或

式中，τ＝a1/a0为时间常数；K＝b0/a0为静态灵敏度。在线性系统中，K为常数，由于K值的大小仅表示输出量与输入量之间（输入量为静态量时）放大的比例关系，并不影响对系统动态特性的研究。因此，为方便讨论问题，可以令K＝1。这种处理方式称为灵敏度归一化处理。灵敏度归一化处理后，式（1-40）变为

（τs+1）y＝x （1-41）

其传递函数为

得到了一阶系统的微分方程和传递函数，就可以研究其频率响应特性和阶跃响应特性。

1）一阶系统的频率响应特性分析

令s＝jω，代入式（1-42），得到一阶系统的频率响应函数：

幅频特性和相频特性分别为

式中，ω为传感器的输入信号频率，幅频特性曲线和相频特性曲线如图1.17所示。

把一阶系统的幅频特性曲线与动态测试不失真的条件相对照，显然在较大的频率范围内，它不满足A（ω）为水平直线的要求。对于实际的传感器系统，要完全满足理论上的动态测试不失真条件几乎是不可能的，只能要求在接近不失真的测试条件的某一频段范围内，幅值误差不超过某一限度。一般在没有特别指明精度要求的情况下，传感器只要是在幅值误差不超过5%（即在系统灵敏度归一处理后，A（ω）值不大于1.05或不小于0.95）的频段范围内工作，就认为可以满足动态测试要求。对于一阶系统，当ω＝1/τ时，A（ω）值为0.707（-3dB），相位滞后45°，通常把ω＝1/τ称为一阶系统的转折频率。只有当传感器输入信号频率ω远小于1/τ时幅频特性才接近于1［如图1.17（a）所示的阴影区］，才可以不同程度地满足动态测试不失真的要求。在幅值误差一定的情况下，τ越小，则传感器的工作频率范围越大。或者说，在被测信号的最高频率成分ω一定的情况下，τ越小，则传感器输出信号的幅值误差越小。

从一阶系统的相频特性曲线来看，同样也只有在ω远小于1/τ时，相频特性曲线接近于一条过零点的斜直线，可以不同程度地满足动态测试不失真条件。而且也同样是τ越小，传感器的工作频率范围越大。

综合上述分析，可以得出结论：反映一阶系统的动态性能的指标参数是时间常数τ，原则上是τ越小越好。

【例1-2】求出图1.12所示的玻璃柱式水银温度计的数学模型。

解：以Ti（t）表示温度计的输入信号即被测温度，To（t）表示温度计的输出信号即示值温度，

根据热力学原理和能量守恒定律，可得到热平衡方程：

即

式中，R为传导介质的热阻，C为温度计的热容量。式（1-47）表明，液体温度计是一阶传感系统，与感温材料、温度计结构等有关的参数R、C决定了它的动态响应性能。

【例1-3】用一个时间常数τ＝5×10-4s的一阶传感器测量正弦信号。问：

（1）如果要求限制振幅误差在5%以内，则被测正弦信号的频率为多少？此时的振幅误差和相角差各是多少？

（2）若用具有该时间常数的同一系统作50Hz信号的测试，此时的振幅误差和相角差各是多少？

分析：传感器对某一信号测量后的幅值误差应为

其相角差即相位移为φ，对一阶系统，若设K＝1，则其幅频特性和相频特性分别为

解：（1）因为δ＝1-A（ω），当｜δ｜≤5%＝0.05时，即要求1-A（ω）≤0.05，所以

化简得：

所以

即被测正弦信号的频率不能大于104Hz。此时产生的幅值误差和相位误差分别如下：

φ＝arctan（-ωτ）＝arctan（-2πfτ）＝arctan（-2π×104×5×10-4）＝-18.9°

（2）当作50Hz信号测试时，有

φ＝arctan（-ωτ）＝arctan（-2πfτ）＝arctan（-2π×50×5×10-4）＝-8.92°

讨论：从上面对于一阶传感器的正弦响应的计算结果可以看出，要使一阶系统测量误差小，则应使ωτ尽可能小。若要满足不失真测试要求，则必须ωτ≪1。此结论与前述的一阶传感器的频率响应特性的分析结果是一致的。

2）一阶系统的单位阶跃响应

当给静止的传感器输入一个单位阶跃信号（信号幅值为1），传感器的输出就是单位阶跃响应。对传感器的突然加载或卸载就属于阶跃输入。这种输入方法易于获取，又能充分揭示传感器的动态特性，故在传感器的动态特性研究中常常被采用。

设单位阶跃信号为

单位阶跃信号u（t）的拉氏变换为

代入式（1-42）得

求拉氏反变换可得Y（s）的时间函数yu（t），yu（t）称为单位阶跃响应函数。

【特别提示】

一阶系统单位阶跃响应曲线见图1.18。一阶系统单位阶跃响应所产生的动态误差为

根据式（1-53）可算出，当t＝3τ时，γ＝0.05；t＝5τ时，γ＝0.007。可见，一阶传感器输入阶跃信号后，在t＞5τ之后采样，可认为输出已接近稳态值，其动态误差可以忽略。

可见，评判一阶系统阶跃响应的动态指标仍是时间常数τ，即传感器输出值上升到稳态值yw的63.2%时所需的时间。τ小，表示阶跃响应迅速，频率响应的上截止频率高。τ的大小表示惯性的大小，故一阶系统又称为惯性系统。

3.二阶系统的动态特性分析

振动传感器、压电感器等都是典型的二阶传感器。令式（1-18）中的二阶微分项以上的各阶微分项为零时，得到二阶系统的微分方程：

灵敏度归一化处理后，式（1-54）可写成

令此为系统固有频率；，此为系统的阻尼比。可得

则式（1-55）可改写为

作拉普拉斯变换得

可得二阶系统的传递函数：

1）二阶系统的频率响应函数及特性分析令s＝jω，代入式（1-56）并整理得二阶系统的频率响应函数：

幅频特性函数和相频特性函数分别为

二阶系统的幅频特性曲线和相频特性曲线如图1.19所示。

【特别提示】

从二阶系统的幅频和相频曲线来看，影响系统特性的主要参数是频率比ω/ωn和阻尼比ξ。只有在ω/ωn＜1并靠近坐标原点的一段，A（ω）比较接近水平ω直线，φ（ω）也近似与ω呈线性关系，可作动态不失真测试。若测试系统的固有频率ωn较高，相应地A（ω）的水平直线段也较长一些，系统的工作频率范围便大一些。另外，当系统的阻尼比ξ在0.7左右时，A（ω）的水平直线段也会相应地长一些，φ（ω）与ω之间也在较宽频率范围内更接近线性。当ξ＝0.6～0.8时，可获得较合适的综合特性。计算表明，当ξ＝0.7时，在ω/ωn＝0～0.58的范围内，A（ω）的变化不超过5%，同时φ（ω）也接近于过坐标原点的斜直线。可见，二阶系统的主要动态性能指标参数是系统的固有频率ωn和阻尼比ξ两个参数。

2）二阶系统的单位阶跃响应及动态指标（见图1.20）

根据二阶系统的传递函数式（1-56）及单位阶跃信号u（t）的拉氏变换式（1-50）可得：

求拉氏逆变换可得二阶系统在0＜ξ＜1时的单位阶跃响应函数：

二阶系统的单位阶跃响应的曲线如图1.20（a）所示。二阶系统的单位阶跃响应是一衰减振荡过程。阶跃响应yu（t）经过若干次振荡（或不经过振荡）缓慢地趋向稳定值yw。这一过程称为过渡过程，yu（t）为过渡函数。当过渡过程基本结束，yu（t）在允许误差±Δ%范围内可视为等于输入信号u（t）。

从图1.20可知，ξ分三种情况影响系统的响应特性：

（1）欠阻尼（0＜ξ＜1）

阻尼比在0＜ξ＜1时，特别是ξ＝0.6～0.8时，二阶系统阶跃响应趋于稳定值的时间快，振荡峰值小。式（160）是欠阻尼时的单位阶跃响应函数。

（2）过阻尼（ξ≥1）

阻尼比在ξ≥1时，振荡峰值被完全抑制，但二阶系统阶跃响应趋于稳定值的时间拉长。

（3）零阻尼（ξ＝0）

阻尼比在ξ＝0时，系统阶跃响应为yu（t）＝1-sin（ωnt+φ），输出量变成等幅振荡。振荡频率为二阶系统的固有频率ωn。

综上三种情况，对于二阶系统而言，响应特性与自身两个固有因素有关：

（1）固有频率ωn越高，则阶跃响应曲线上升越快，即响应速度越高；ωn越小，则响应速度越低。

（2）阻尼比ξ越大，响应的过冲量越弱；ξ≥1时过冲量完全被抑制，也不产生振荡；0＜ξ＜1时，响应信号产生衰减振荡。ξ越小，振荡频率越高，衰减越慢。设计时常取ξ＝0.6～0.8。

评判二阶系统的阶跃响应的动态指标主要有［见图1.20（b）］：

（1）上升时间tr。传感器输出值由稳态值的10%上升到90%所需的时间。即

（2）稳定时间tw。传感器输出值达到允许误差范围±Δ%所经历的时间。即

tw＝4τ/ξ（1-62）

（3）超调量δm。响应曲线第一次超过稳态值的峰值，即δm＝yumax-yw。

δm＝exp（-ξ·tr/τ）（1-63）

（4）稳态误差ess。无限长时间后传感器的稳态输出值与目标值之间偏差δss的相对值为

1.7 传感器的技术性能指标及选用原则

1.7.1 传感器的技术性能指标

表1-4分类列出了传感器的一些常用技术性能指标，这些指标是作为检验、使用和评价传感器的依据。

表1-4 传感器的一些常用技术性能指标

由于各种传感器的原理、结构、使用环境、条件、目的不同，其具体技术性能指标也不可能相同，但是有些使用要求却是共同的：

（1）足够的容量。即传感器的工作范围或量程足够大；具有一定的过载能力。

（2）灵敏度高，精度适当，抗干扰。即要求其输出信号与被测信号成确定的关系（通常为线性），且比值要大；传感器的静态响应与动态响应的准确度能满足要求。

（3）响应速率高、可重复性、抗老化、抗环境影响（热、振动、酸、碱、空气、水、尘埃）的能力。

（4）使用性和适应性强。即体积小、质量轻、动作能量小，对被测对象的状态影响小；内部噪声小而又不易受外界干扰的影响；其输出力求采用通用或标准形式，以便与系统对接。

（5）经济适用。即成本低、寿命长、安全（传感器应是无污染的）、有互换性、低成本且便于使用、维修和校准。

必须指出，对于一种具体的传感器，并不要求它是“万能”的，也不需要使其全部指标都达到优良，这不仅使设计制造困难，实际上也没有必要。应该根据实际应用的目的、使用环境、被测对象状况、精度要求等具体条件作全面综合考虑，保证主要的参数达标、满足使用即可。

1.7.2 传感器的选用原则

现代传感器在原理与结构上千差万别，如何根据具体的测量目的、测量对象以及测量环境合理地选用传感器，是进行某个量的测量时首先要解决的问题。当传感器确定之后，与之相配套的测量方法和测量设备也就可以确定了。测量结果的成败，在很大程度上取决于传感器的选用是否合理。传感器的选用应从以下几个方面考虑：

1.与测量条件有关的因素

要进行一项具体的测量工作，首先要考虑采用何种原理的传感器，这需要分析多方面的因素之后才能确定。因为，即使是测量同一物理量，也有多种原理的传感器可供选用，哪一种原理的传感器更为合适，则需要根据被测量的特点和传感器的使用条件，考虑以下一些具体问题：量程的大小、被测位置对传感器体积的要求、测量方式是接触式还是非接触式、信号的引出方法、是有线还是无线测量等。在考虑上述问题之后就能确定选用何种类型的传感器，然后再考虑传感器的具体性能指标。

2.与传感器有关的技术指标

1）灵敏度的选择

通常，在传感器的线性范围内，希望传感器的灵敏度越高越好。因为只有灵敏度高时，与被测量变化对应的输出信号的值才比较大，有利于信号处理。但要注意的是，当传感器的灵敏度高时，与被测量无关的外界噪声也容易混入，也会被放大系统放大，影响测量精度。因此，要求传感器本身应具有较高的信噪比，尽量减少从外界引入的干扰信号。有的传感器的灵敏度是有方向性的。当被测量是单向量时，而且对其方向性要求较高，则应选择其他方向灵敏度小的传感器；如果被测量是多维向量，则要求传感器的交叉灵敏度越小越好。

2）频率响应特性

传感器的频率响应特性决定了被测量的频率范围，必须在允许频率范围内保持不失真的测量条件。实际上传感器的响应总有一定延迟，延迟时间越短越好。传感器的频率响应高，可测的信号频率范围就宽，而由于受到结构特性的影响，机械系统的惯性较大，因而频率低的传感器可测信号的频率较低。在动态测量中，应根据信号的特点（稳态、瞬态、随机等）及响应特性，以免产生过大的动态误差。

3）线性范围

传感器的线性范围是指输出量与输入量成正比的范围。从理论上讲，在此范围内，灵敏度保持一定的值。传感器的线性范围越宽，则其量程越大，并且能保证一定的测量精度。在选择传感器时，当传感器的种类确定以后，首先要看其量程是否满足要求。实际上，任何传感器都不能保证绝对的线性，其线性度也是相对的。当所要求测量精度比较低时，在一定的范围内，可将非线性误差较小的传感器近似看做线性的，这会给测量带来极大的方便。

4）稳定性

传感器使用一段时间后，其性能保持不变的能力称为稳定性。影响传感器长期稳定性的因素除传感器本身结构外，还有传感器的使用环境。因此，要使传感器具有良好的稳定性，传感器必须要有较强的环境适应能力。在选择传感器之前，应对其使用环境进行调查，并根据具体的使用环境选择合适的传感器，或采取适当的措施，减小环境的影响。传感器的稳定性有定量指标，在超过使用期后，在使用前应重新进行标定，以确定传感器的性能是否发生变化。在某些要求传感器能长期使用而又不能轻易更换或标定的场合，所选用的传感器稳定性要求更严格，要能够经受住长时间的考验。

5）精度

精度是传感器的一个重要性能指标，它也决定了整个测量系统的精度高低。传感器的精度越高，其价格越昂贵，因此，从性价比考虑，传感器的精度只要满足整个测量系统的精度要求就可以，不必选得过高。这样就可以在满足同一测量目的的诸多传感器中选择价格比较便宜和结构简单的传感器。如果测量目的是定性分析的，选用重复精度高的传感器即可，不宜选用绝对量值精度高的；如果是为了定量分析，必须获得精确的测量值，就需选用精度等级能满足要求的传感器。对某些特殊使用场合，无法选到合适的传感器，则需自行设计制造传感器以满足使用要求。

3.与传感器的经济指标有关的因素

从经济的角度来考虑，首先是以能达到测试要求为准则，不应盲目地采用超过测试目的所要求的高精度传感器。这是因为传感器的精度若提高一个等级，则传感器的成本费用将会急剧地上升。另外，当需要用多台传感器与其他后接仪器共同来组成检测系统时，所有的传感器和其他仪器都应该选用同等精度。误差理论分析表明，由若干台仪器组成的系统，其测量结果的精度取决于精度最低的那台仪器。

4.与使用环境条件有关的因素

在选择传感器时，还必须考虑其使用环境，主要从温度、振动和介质三个因素综合考虑环境对仪器的影响。例如，温度的变化会产生热胀冷缩效应，也会使传感器的机构受到热应力或改变元件的特性，从而导致其输出量发生变化，过低或过高的温度还有可能使传感器或其内部元件变质、失效乃至破坏等。又如，过大的加速度将使传感器受到不应有的惯性力作用，导致输出量的变化或传感器的损坏。在带腐蚀性的介质中或原子辐射的环境中工作的传感器也往往容易受到损坏。因此，必须针对不同的工作环境选用合适的仪器，同时也必须充分考虑采取必要的措施对其加以保护。

1.8 改善传感器性能的技术途径

纵观传感技术领域几十年来的发展，提高传感器性能的途径有两个：一是提高与改善传感器的技术性能，二是寻找新原理、新材料、新工艺及新功能等。为提高与改善传感器性能的技术途径如下：

（1）结构、材料与参数的合理选择

根据实际的需要和可能，合理选择材料、结构设计传感器，确保主要指标，而放弃对次要指标的要求，以求得到高的性价比。同时满足使用要求，即使对于主要的参数也不能盲目追求高指标。

（2）差动技术

差动技术是非常有效的一种方法，它的应用可显著地减小因温度变化、电源波动、外界干扰等对传感器精度的影响，抵消了共模误差，减小了非线性误差等。如电阻应变式传感器、电感式传感器、电容式传感器中都应用了差动技术，不仅减小了非线性，而且灵敏度提高了一倍，抵消了共模误差。

（3）平均技术

常用的平均技术有误差平均效应和数据平均处理。常用的多点测量方案与多次采样平均就是这样的例子。其原理是利用若干个传感单元同时感受被测量或单个传感器多次采样，其输出量则是这些多次输出量的平均值。若将每次的输出量可能带来的误差δ均看做随机误差且服从正态分布，根据误差理论，总的误差δΣ将减小为

式中，n为传感单元数或采样次数。

可见，在传感器中利用平均技术不仅可使传感器误差减小，且可增大信号量，即增大传感器灵敏度。光栅、磁栅、容栅、感应同步器等传感器，由于其本身的工作原理决定多个传感单元参与工作，可取得明显的误差平均效应的效果。这也是这一类传感器固有的优点。另外，误差平均效应对某些工艺性缺陷造成的误差同样起到弥补作用。在懂得这些道理之后，设计传感器时在结构允许的情况下，适当增多传感单元数，可收到很好的效果。例如圆光栅传感器，若让全部栅线都同时参与工作，设计成“全接收”形式，误差平均效应就可充分地发挥出来。

（4）稳定性处理

造成传感器性能不稳定的原因是：随着时间的推移或环境条件的变化，构成传感器的各种材料与元器件性能将发生变化。为了提高传感器性能的稳定性，应该对材料、元器件或传感器整体进行必要的稳定性处理。使用传感器时，如果对测量要求较高，必要时也应对附加的调整元件、后接电路的关键元器件进行老化处理。

（5）屏蔽、隔离与干扰抑制

屏蔽、隔离与干扰抑制可以有效地削弱或消除外界因素对传感器的作用，如电磁噪声或机械振动噪声，这些都是传感器中出现的干扰信号。它可由传感器内部产生，也可从外部随信号传递而混入。一般而言，噪声是呈不规则的变化，像交流噪声这样的周期性的波动，广义上也是噪声。

传感器内部产生的噪声包括敏感元件、转换元件和转换电路元件等产生的噪声以及电源产生的噪声，例如光电真空管放射不规则电子，半导体载流子扩散等产生的噪声。降低元件的温度可减小热噪声，对电源变压器采用静电屏蔽可减小交流脉动噪声等。

从外部混入传感器的噪声，按其产生原因可分为机械噪声（如振动，冲击）、音响噪声、热噪声（如因热辐射使元件相对位移或性能变化）、电磁噪声和化学噪声等。对振动等机械噪声可采用防振台或将传感器固定在质量很大的基础台上加以抑制；而消除音响噪声的有效办法是把传感器用隔音器材隔离或放在真空容器里；消除电磁噪声的有效办法是屏蔽和接地或使传感器远离电源线，或使输出线屏蔽，或输出线绞拧在一起等。

（6）补偿与校正

补偿与校正技术的运用主要针对下列两种情况：一种是针对传感器本身特性的，另一种是针对传感器的工作条件或外界环境的。

对于传感器本身特性，可以找出误差的变化规律，或者测出其大小和方向，采用适当的方法加以补偿或修正。

针对传感器工作条件或外界环境进行误差补偿，也是提高传感器精度的有力措施。不少传感器对温度敏感，而且由温度变化引起的误差十分可观。为了解决这个问题，必要时可以控制温度，采用恒温装置，但往往导致费用太高，或使用现场条件不允许。而在传感器内引入温度误差补偿常常是可行的方法。这时应找出温度对测量值影响的规律，然后引入温度补偿措施。例如，电阻应变式传感器中应变片的单丝/双丝温度自补偿法、桥路补偿法等。

还可以利用传感器的后接电子线路（硬件）来解决误差补偿与修正，也可以通过计算机软件在测量数据的系统上实现误差补偿与校正。