1.4 变形和应变

物体受力发生变形是材料力学关注的主要内容。根据均匀连续性假设，如果知道了物体内各点扣除刚体位移以后的位移，也就确定了物体的宏观变形。材料力学中关心的位移就是指完全由变形产生的位移。

然而，位移并不方便表征物体内一点的变形特征。如图1-9所示，一端固定的杆在力F的作用下伸长，其上临近的两点A和B分别移动到A'和B'。若记点A产生的位移为uA，点B产生的位移为uB，则有uB = uA + （A'B' − AB），其中A'B' − AB（记为ΔuAB）正是由AB的变形（伸长）引起的。可见点B的位移包含了点A的位移，并不能表征点B的变形特征。同样，点A的位移也包含了它前面临近点的位移，不能表征点A的变形特征。ΔuAB是AB的总伸长量，显然与AB的原长（设为Δx）有关。当Δx很小时，AB的变形（伸长）近似均匀，所以ΔuAB/Δx是表征该临近微小区域变形特征的适当参量。材料力学（包括其他连续变形体力学）中正是沿用这样的思路，通过在一点附近选取一微小的区域，如边长分别为Δx、Δy、Δz的微小单元体，并仿照ΔuAB/Δx定义应变（strain），来描述物体中任意一点的变形特征。

在得到物体中每一点的局部变形后，通过求积分就可以获得物体整体的变形。

如图1-10（a）所示,在物体内任一点M邻域取一边长分别为Δx、Δy、Δz的微元体，当边长趋于无限小时，它就代表了点M。该微元体的变形主要表现为两类：边长的改变和角度的改变，如图1-10（b）和（c）所示的xy投影平面的情况。这两类基本的变形合成了微元体更复杂的变形。为了定量表征这两种基本变形，分别定义了如下正应变和切应变。

1.正应变（线应变）

如图1-10（b）所示，设微元体变形后x、y轴方向的边长改变量分别为Δu、Δv，则定义改变量与原长的比值为对应边的平均正应变（normal strain），也称线应变（linear strain），以εa表示，即

类似地，也可以定义z方向的平均正应变或线应变，即

式中， Δw为变形后z轴方向的边长改变量。

当边长无限小时，由以上各式取极限得

式中，εx、εy、εz分别称为点M沿x、y、z方向的正应变或线应变。

实际上，若在构件内任取一段微小线段MN=Δs，变形后的长度为M′N′，如图1-10（d）所示，则都可类似地定义该线段沿MN方向（记为s方向）的线应变为

2.切应变（剪应变）

微元体两条相互正交的边所夹直角的改变量，称为点在这两条边所在平面内的切应变或剪应变（shear strain）。如图1-10（c）所示，点M两侧的边由变形前的直角π/2，变成了锐角，夹角的改变量为γ1+γ2。该改变量即为点M在xy平面内的切应变或剪应变，表示为γxy，通常用弧度来度量。在变形很小的情况下，夹角γ1 和γ2的弧度值近似等于各自的正切值，于是有

同样，可定义点M在yz平面和zx平面内的切应变γyz和γzx。

线应变 ε 和切应变 γ 是描述变形构件内一点处变形的两个基本力学量，表示一点的局部变形，它们都是无量纲的量。物体的整体变形是物体内所有各点变形的累加。材料力学所研究的问题一般限于小变形情况，即变形和由变形引起的位移很小，远远小于构件的几何尺寸，所以在分析平衡和变形等问题时，可以按构件的原始尺寸和形状进行计算。可以证明，对于微小的应变和位移，其平方、乘积等与其一次方相比可以作为高阶小量忽略。

应变是连续变形体力学中一个十分重要的、用来定量描述一点变形特征的量。在直角坐标系中可用（εx，γxy，γyz；γyx，εy，γyz；γzx，γzy，εz）这样一组分量表示一点的应变状态。顺便指出，描述一点受力状况的应力（包括所有分量）和描述一点变形特征的应变（包括所有分量）既不是一个标量，也不是一个矢量，在数学上称为张量（tensor）。更加系统的关于应力和应变的理论将在弹性力学中学习。