3.8 非圆杆件的扭转

前面各节讨论了圆形截面杆的扭转，但工程中有些受扭构件的横截面并非圆形。本节对等直非圆截面杆件的扭转进行简单的讨论。

取一矩形截面杆，在其侧面画上等距的纵向和横向网线，两端受扭变形后，可以很容易地观察到：与等直圆杆的扭转不同，这些网格线将发生弯曲，横向周线不再位于同一平面内，如图3-15所示。这说明其横截面在变形后将发生翘曲。因此，平面假设对于等直非圆杆（如正方形、矩形、三角形、椭圆形等）不再成立，等直圆杆的扭转应力计算公式不适用于非圆截面杆。

当等直杆在两端受外力偶作用，且端面可以自由翘曲时，称为自由扭转或纯扭转。此时，相邻两横截面的翘曲程度相同，横截面上仍然是只有切应力而没有正应力。若杆的两端受到约束而不能自由翘曲，则称为约束扭转。此时，相邻两横截面的翘曲程度不同，将在横截面上引起附加的正应力。由约束扭转所引起的附加正应力，在一般实体截面杆中通常很小，可略去不计。但在薄壁杆件中，这一附加正应力则可能较大而不能忽略。本节仅简单介绍矩形及狭长矩形截面的等直杆在自由扭转时的结果，这些结果一般要利用弹性力学的知识解答。

不难证明：杆件扭转时，横截面边缘上各点的切应力都与截面边缘相切。如图3-16（a）所示，若假设边缘各点的切应力不与边界相切，则总可以将其分解为沿边界切线方向的分量 τt和法线方向的分量τn。根据切应力互等定律，τn应与杆件自由表面上的切应力相等，但在自由表面上切应力。因此，在边缘上各点就只可能有沿边界切线方向的切应力。

同理可以证明，在截面凸角处的切应力等于零，如图3-16（b）所示。

根据弹性力学的解答，横截面上切应力分布如图3-17所示。从图中可以看出，最大切应力发生在矩形截面的长边中点处。为了对矩形截面杆进行扭转强度和刚度计算，这里仅给出横截面上最大切应力和单位长度扭转角的计算公式，其结果为

式中，Wt 为扭转截面系数，It为截面的相当极惯性矩，GIt为非圆截面杆的扭转刚度。矩形截面的It和Wt与截面尺寸的关系如下：

式中，因数α和β可从表3-1中查出，其值均随矩形截面的长短边尺寸h和b的比值m = h/b而变化。横截面上的最大切应力τmax发生在长边中点，即在截面周边上距形心最近的点；而在短

边中点处的切应力则为该边上各点切应力中的最大值，可根据τmax和表3-1中的因数ν，按下式计算：

注：（1） 当m＞4时，也可按下列近似公式计算α、β和ν：

，ν≈0.74

（2） 当 m＞10时，，ν≈0.74

对于狭长矩形截面，切应力的变化情况如图3-18所示（其中为了与一般矩形相区别，将狭长矩形的短边尺寸b改写为δ），沿长边各点切应力的方向均与长边相切，其数值除顶点附近以外均相差不大，可由式（3-32a）计算得到。根据表3-1的注（2）可得It和Wt与截面尺寸之间的关系为

一矩形截面等直钢杆，横截面尺寸为h = 100 mm，b = 50 mm；长度l = 2 m。在杆两端作用一个Me=4000N⋅m的扭转力偶。钢的许用切应力[τ]=100MPa，剪切模量G=80GPa，许可单位长度扭转角[θ]=1（°/m）。试校核杆的强度和刚度。

解：

由截面法求得截面扭矩T=Me =4000 N⋅m。

由，通过表3-1查得β=0.493和α=0.457。于是，由式（3-34）得

Wt=βb3=0.493×（50×10−3）3=61.6×10−6m3

It=αb4=0.457×（50×10−3）4=286×10−8m4

再由式（3-32），得

因此，杆满足强度和刚度条件。