2.6 轴向拉伸与压缩时的变形

杆件轴向拉伸或压缩时主要产生沿轴向的纵向变形和垂直于轴向的横向变形。本节首先讨论拉压杆件的应变，然后结合横截面的应力计算公式（2-2）和应力-应变关系即胡克定律[式（2-8）]，导出由轴力计算变形的公式。

设一原长为l的等截面直杆，如图2-22所示，在外力F作用下产生轴向拉伸变形。其轴向变形通常以杆件变形后沿轴向的长度改变量Δl表征，即

式中，l和l′分别为杆件变形前后的长度。轴向变形又称为纵向变形。

杆件的横向变形则以杆件变形后横向尺寸的改变量表征。设b 和 b′分别为杆件变形前后的横向尺寸，则杆件的横向变形可表示为

纵向变形Δl及横向变形Δb均为绝对变形，其数值会受到杆件原始尺寸的影响，因此通常用相对变形来描述杆件拉压时的变形程度，即

分别称为纵向应变和横向应变，均为无量纲量。

实验结果表明：当杆件轴向伸长时，与轴线垂直的横向尺寸将相应缩短；轴向缩短时，横向伸长。在弹性范围内，纵向应变ε与横向应变ε′之间满足如下关系：

式中，v称为横向变形系数或泊松比（Poisson's ratio）。它是一个材料弹性常数，无量纲量，可从有关手册中查得。

应该注意的是，式（2-17）只对杆长l范围内沿轴向均匀变形的情况成立。当杆件承受沿轴向变化的分布载荷作用时，或弹性模量、横截面面积等沿轴向变化时，其变形沿轴向不再均匀。若变形沿轴向分段均匀，则可分段应用式（2-17）；否则，需通过选取微段进行变形分析得到应变。如图2-23所示，设x处截面m-m变形后相对左端的位移为l（x） [即原长为x的左侧部分杆变形后的长度为l（x）]，则x+dx处截面n-n变形后相对左端的位移为l（x）+dl，即原长为 dx 的微段变形后的长度为 dl, 于是 x处的纵向应变为

该方程也称为几何方程。对于均匀变形，l（x）为线性函数，因而ε为常数，可由式（2-17a）直接确定。式（2-17a、b）也是几何方程。

2.4节中已经指出，在弹性范围内应力与应变之间满足胡克定律：

σ=E⋅ε

对于均匀变形的等截面直杆，将几何方程式（2-17a）和应力计算公式（2-2）代入上述胡克定律，可得拉压时的轴向伸长（即纵向变形）为

式（2-20）表明：杆件拉压时的轴向伸长Δl与轴力FN和杆件原长l成正比，与杆件横截面面积A成反比。式（2-20）是胡克定律的又一表达形式，其中的EA称为杆件的抗拉（压）刚度，表征杆件抵抗拉或压的能力。EA越大，杆件的变形越小，即抵抗拉（压）变形的能力越强。

应用式（2-20）时需注意，在杆长l范围内，轴力FN、弹性模量E和横截面面积A均要求为常量。若FN、A和E均为沿轴向的分段常值函数，则可分段应用式（2-20）；若三个量其中之一为连续变化的函数，则需取微段进行分析计算，或将式（2-19）和应力计算公式（2-2）代入胡克定律，得

将式（2-21）沿杆全长积分，得杆的轴向伸长为

试求例题2-2中变截面直杆ABC的轴向伸长。设lAB =lBC =0.6 m,E=200 GPa。

分析：由于轴力和横截面面积均为沿轴向的分段常值函数，所以可分段应用式（2-20）求得变形。

解：

1） 求杆的轴力

由例题2-2可知：AB段的轴力FNAB = FN1 = −30 kN

BC段的轴力FNBC = FN2 = 20 kN

2） 求杆ABC的伸长量

对AB段、BC段杆分段应用式（2-20）计算轴向伸长量：

则杆的总伸长量为

Δl=ΔlAB+ΔlBC =− 0.13+0.19=0.06 mm

等截面直杆AB如例题图2-7（a）所示，已知杆长l，截面面积A，单位体积重量γ，材料的弹性模量E，试求杆AB由于自重引起的轴向伸长。

分析：杆受沿长度方向均匀分布的重力，其集度为γA。由于轴力FN沿杆长连续变化，所以需应用式（2-22）计算轴向伸长。

解：

1） 求任意横截面的轴力

以距自由端B为x的横截面截取杆并取下侧部分为研究对象，如例题图2-7（b）所示，由平衡方程得

FN（x）=γAx

由上式可知，杆AB的轴力沿杆长线性分布，轴力图如例题图2-7（c）所示。

2） 求杆AB的轴向伸长

由式（2-22）得杆AB的轴向伸长量为

简易悬臂式吊车如例题图2-8（a）所示，吊车的三角架是由铰链B、C和杆AB、AC连接而成，斜杆AB的横截面面积A1=9.6×10−4 m2，水平杆AC的横截面面积A2=25.48×10−4 m2。杆AB、AC材料相同，E = 200 GPa，试求当点A处起吊G = 57.5 kN的重物时，节点A的位移。

分析：在重物G作用下，杆AB和杆AC将分别发生变形，节点A的位移是由杆AB、AC变形引起的，根据变形后两杆件仍铰在一起，与BC构成三角形，可以确定变形后点A发生的位移。

解：

1） 计算杆AB、杆AC的变形

节点A的受力如例题图2-8（b）所示，设杆AB轴力为FN1（拉），杆AC轴力为FN2（压），应用节点A的平衡方程，得

其中， ，即α=30°。

杆AB受拉，产生拉伸变形，其伸长量Δl1为

杆AC受压，产生压缩变形，其收缩量Δl2为

2） 求节点A的位移

假想将杆AB和AC在节点A处拆开，并保持在原位置上，由各自轴力作用下发生拉伸变形Δl1和压缩变形Δl2后变为BA1及CA2，如例题图2-8（c）所示。分别以点B和点C为圆心，以两杆变形后长度BA1和CA2为半径作两圆弧，则两弧交点A3即为杆件变形后点A的新位置，由此可得点A的位移。

上述方法虽然可得节点A位移的精确数值，但计算复杂。考虑到杆件的变形Δl1和Δl2 均十分微小，故可分别过点A1和点A2作杆BA1和杆CA2的垂线，代替上述圆弧线A1A3和A2A3，如例题图2-8（c）所示。将两垂线的交点A′近似地视为节点A变形后的位置。

分析变形几何关系，如例题图2-8（c）所示，可得点A的水平位移：

ΔAx=AA2=Δl2=0.68mm （←）

A点的铅垂位移：

讨论：该题在计算点A的位移时，利用了垂线代替弧线，这仅在小变形下成立，感兴趣的读者可以利用微积分中的泰勒展开知识进行严格的证明（习题 1-5）。另外，作位移关系图（例题图2-8（c））时，请注意杆件的变形应与该杆轴力的拉压性质一致。