1.6 材料力学的研究内容和思路

材料力学主要在均匀连续性、各向同性、弹性小变形假设下，研究细长杆件的变形和应力计算，以及强度、刚度和稳定性分析，为设计经济、实用、安全的结构构件或机械零件，提供必要的理论基础和方法。材料力学所涉及的构件基本变形形式包括：

（1） 轴向拉伸和压缩 等截面直杆或缓慢变化的变截面直杆在沿轴线的载荷作用下发生伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸或压缩，如图1-12（a）、（b）所示。

（2） 剪切 杆在一对相距很近的大小相等、方向相反、垂直于轴线的横向外力作用下发生沿外力作用方向的相对错动，这种变形形式称为剪切，如图1-12（c）所示。尽管这种变形一般会伴随其他变形发生，但剪切变形是最主要的，往往是构件失效的主要原因。

（3） 扭转 等截面杆或缓慢变化的变截面杆在沿轴线方向的力偶作用下，横截面之间发生绕轴线的相对转动，这种变形称为扭转，如图1-12（d）所示。

（4） 弯曲 等截面杆或缓慢变化的变截面杆在包含轴线的纵向平面内的外力偶作用下，横截面之间发生纵向平面内的相对转动，杆件轴线变成曲线，这种变形称为弯曲，如图1-2（e）所示。当杆件在纵向平面内作用有集中或分布力时，也会发生弯曲，如图 1-12（f）所示，但此时伴有剪切变形。为了区别，将前者称为纯弯曲，而将后者称为横力弯曲。通常将发生弯曲变形的杆件称为梁（beam）。

工程中常用构件的变形往往是上述几种基本变形的组合。或以一种为主，其他次要变形可忽略不计；或几种并重，需要同时考虑。前者属于简单变形问题，后者则是组合变形问题。

材料力学针对上述几种基本变形及其组合变形的杆件，研究其在各种载荷（静载、动载、交变载荷、温度变化等）作用下内力、应力、应变、变形、能量的计算方法，建立其强度、刚度、稳定性的分析方法等。主要对象是等截面直杆或缓慢变化的变截面直杆，部分内容也涉及曲杆和刚架。另外，材料力学主要关注远离加载点、几何或材料突变点等区域的应力和变形。

构件强度、刚度和稳定性的分析计算基于对构件在外力（包括载荷和约束反力）作用下的变形（位移或转角）分析。后者正是包括材料力学在内的所有变形体力学的中心任务。而材料力学为实现这一目标，根据研究对象（细长杆件）的几何特征——轴向尺寸远大于其他两个方向的尺寸，在实验观察的基础上，对变形做合理的几何上的假设，利用微积分的基本概念，建立一维方向（轴向）上的方程，从而大大简化数学求解过程。材料力学与其他连续变形体力学的显著区别在于：

（1） 根据实验观察，由于横截面的尺寸远小于轴向的尺寸，假设横截面在变形过程中仍保持为平面，只是发生某种刚性的相对移动或转动，该假设称为平面假设，它给出关于变形的简单几何关系，从而使相关的数学分析大大简化。

（2） 取杆件轴向的微段为研究对象，引入横截面内力的概念，并基于上述假设，建立内力与微段变形之间的关系。

（3） 正是由于以上假设和近似，所以材料力学只涉及一维函数的微积分，利用最简单的高等数学知识即能解决，如一维函数的导数、微分、积分、常微分方程等，避免了更复杂的偏微分方程的出现，因此在工程中获得了广泛的应用。

材料力学对“外力导致构件变形”这一核心问题的研究沿循了如图1-13所示的思路和过程，可总结为如下几个要点。

（1） 根据平衡方程由外载荷确定约束反力（过程①）。如果可确定全部约束反力，则为静定结构；否则，为超静定结构，需要结合变形协调方程求解全部约束反力。

（2） 利用截面法，根据平衡方程，由外力（载荷和约束反力）计算横截面上的内力（过程②）；若取微段建立平衡方程则可以得到内力与载荷之间的微分关系，也就是杆件的平衡微分方程。

（3） 由内力并不能直接计算横截面上的应力，因为还不知道应力的分布形式。为此，材料力学从微段的变形特征入手，根据实验观察提出平截面假设，据此建立微段变形与应变的几何关系，即几何方程（过程③）。

（4） 然后考虑应力-应变关系（过程④，即物理方程，一般由实验测得），得到应力的分布形式，也就是应力与微段变形的关系式。

（5） 有了根据上述几何方程和物理方程得到的应力分布形式，再利用静力等效原理得到横截面应力的计算公式（过程⑤）。同时回走过程④和③，也就得到了由内力计算微段变形的公式（☆）。

（6） 由微段的变形，通过积分并考虑适当的边界或连接条件，即可确定杆件的整体变形（过程⑥）。由此，便最终获得了外力与构件变形之间的关系（★），从而解决了材料力学的核心问题。

纵向看，图1-13所示的上述过程分为3个部分：从载荷到应力的过程（过程①、②、⑤）仅涉及静力学中的力的平衡和力系等效；从应变到结构整体变形的过程（过程③、⑥）仅涉及与变形协调相关的几何关系，材料力学在这部分主要根据平面假设给出近似的几何关系；而联系二者的正是连续变形体力学中的本构理论（过程④）。这3部分的内容也是所有连续变形体力学的主要研究内容。

横向看，图1-13所示的上述过程分为3个层次，从下至上分别为：单元体（点）、微段（横截面）、构件整体。其中，微段的引入（及内力概念的引入）是材料力学与一般连续变形体力学（如弹塑性力学）的不同之处，类似的思路在关于板壳力学分析的相关理论中也有用到。

特别值得注意的是，材料力学中所有的力学模型的简化和数学分析均包含于过程②～⑥（即方框所围的部分）。特别是过程③～⑥（即阴影部分）包含了连续变形体力学独到的建模和思维方式，也涉及连续函数的微积分运算如何应用于连续变形的分析，是材料力学的核心内容。其中，工程中所关心的强度、刚度问题的答案也蕴涵在这个过程中。例如，以应力为参量建立强度准则，以整体或微段的变形建立刚度准则，等等。

前面提到的4种基本变形形式，均可沿循图1-13所示的研究思路获得解决。对于更复杂的一些问题，则仍然以此为核心，并联合其他的力学原理和数学知识加以解决。这里有必要做一些补充说明。

（1） 关于超静定问题 此时存在多余约束反力，不能由平衡方程直接确定。虽然不能通过实线箭头所描述的单向过程计算变形，但仍然可以通过这样的过程（即方框内的过程）获得所有外力与变形之间的关系。于是，若设多余约束力为未知量，则将外力表示的整体变形（位移或转角）代入变形协调方程即得到补充方程，从而求得多余约束力。这就是求解超静定问题力法的基本思想。同样，若设满足变形协调方程的位移或转角为未知量，则将变形表示的外力代入平衡方程，也可求解整个问题。这就是求解超静定问题位移法的基本思想。

（2） 关于组合变形问题 只需分解为基本变形，叠加即可得到应力、应变和变形的最终结果。这得益于线性弹性理论叠加原理提供的方便。

（3） 关于稳定性问题 材料力学仅涉及最简单的稳定性分析——压杆稳定的欧拉公式。当引入稳定性和临界载荷的概念后，欧拉公式的推导便可纳入上述研究过程。

（4） 关于能量方法 能量法是基于能量守恒原理，针对构件整体建立的一种求解变形的方法。注意到图1-13中的阴影部分提供了一种变形能的计算方法，于是上述复杂过程便可简化成图中上部所示的简单过程：外力功转化为变形能（对弹性材料）。而且这种关系与加载顺序无关，据此可以推出常用的一些能量方法，如单位力法、卡氏定理等。

材料力学沿用的这种简洁而实用的思路实现了对杆件强度、刚度和稳定性的分析，这为我们提供了一种很好的关于连续变形体力学的思维方式训练。通过材料力学的学习，我们不仅可掌握对构件进行强度、刚度和稳定性分析和设计的方法，而且可从这种思维方式的训练中学会更复杂的变形体力学的分析方法和思路。