1.1 有限元分析简介

AMI采用的基本思想是工程领域中最为常见的有限元方法，其网格模型如图1-1所示。有限元法的灵活性很大，对边界形状的描述具有良好的适应性，可以模拟复杂的边界情况问题，因而为分析人员所青睐。

有限元法的应用领域从最初的离散弹性系统发展到后来进入连续介质力学之中，目前，广泛应用于工程结构强度、热传导、电磁场、流体力学等领域。经过多年的发展，现代的有限元法几乎可以用来求解所有的连续介质和场问题，包括静力问题和时间有关的变化问题及振动问题。

1.1.1 有限元法的基本思想

1. 数理方程的求解方法

数理方程的求解过程如图1-2所示。

2. 有限元法的基本思想

将一个连续的求解域（连续体）离散化即分割成彼此用节点（离散点）互相联系的有限个单元，如图1-3所示。在单元体内假设近似解的模式，用有限个节点上的未知参数表征单元的特性，然后用适当的方法，将各个单元的关系式组合成包含这些未知参数的代数方程，得出各节点的未知参数，再利用插值函数求出近似解。

有限元法是一种用有限的单元离散连续体，然后进行求解的一种数值计算的近似方法。由于单元可以分割各种形状和尺寸的连续体，所以，它能很好地适应复杂的几何形状、材料特性和边界条件。

由于已有成熟的大型软件系统支持，有限元法已成为一种非常受欢迎的、应用极广的数值计算方法。

①特点：基于变分原理，建立基本方程和定解条件的积分提法，建立泛函的变分。

②求解步骤：将求解域划分单元，在单元内假设近似分布函数，通过单元分析进而建立整个区域场量的方程。

③应用：几乎所有领域。

④优点：几何形状复杂时，通过合适的网格数得到较高精度。

3. 有限元法的基本求解步骤

①将连续体离散成有限个单元的组合体。

②利用单元节点的场量作为基本未知量，选择一组插值函数，确定单元内相应的场量分布。

③建立单元内节点的基本未知量与载荷间的平衡方程。

④将单元内节点基本未知量的平衡方程集成，得出以节点基本未知量的平衡方程组。

⑤求解代数方程组，得出各节点的基本未知量。

在弹性力学问题中，通常采用单元节点位移作为基本未知量，求出节点位移后，再计算单元的应力应变，称为位移型有限元法。若以节点力为未知参数，先求出节点处的节点力，后求位移与应力的方法，称为力型有限元法。

1.1.2 有限元法的特点

1. 原理清楚，概念明确

有限元法的原理清楚，概念明确，用户可以在不同的水平上建立起对该方法的理解，并且根据个人的实际情况（包括不同学科、不同背景和不同的理论基础）来安排学习的计划和进度，既可以通过直观的物理意义来学习和使用，也可以从严格的力学概念和数学概念推导。

2. 应用范围广泛，适应性强

有限元法可以用来求解工程中许多复杂的问题，特别是采用其他数值计算方法（有限差分法）求解困难的问题，如复杂结构形状问题，复杂边界条件问题，非均质、非线性材料问题，动力学问题，黏弹性流体流动问题等。目前，有限元法在理论上和应用上还在不断发展，今后将更加完善，应用范围也会更加广泛。

3. 有利于计算机应用

有限元法采用矩阵形式表达，便于编制计算机程序，从而可以充分利用高性能计算机的计算优势。由于有限元法计算过程的规范化，目前，在国内外有许多通用程序可以直接使用，非常方便。AMI正是成熟的注射成型的有限元工程分析软件。