第1章 前言
我有一个朋友，他虽然是一位艺术家，却也是一个科学爱好者。每次我们见面聊天，他总是不停地跟我谈量子力学或者心理学的最新进展。但是，一说到数学，他就无话可说了。他常常对我说：“数学好难懂啊，那么多奇奇怪怪的符号，我连读都不会读。一想到这个，我就很难过！”
其实，我的这位艺术家朋友对数学的抱怨还远不只那些奇怪的符号，除此之外，令他费解的地方还包括：数学家每天都在忙些什么呢？为什么数学家们会形容一个证明非常“优雅”呢？我常常和他开玩笑说：“等我哪天有时间，我就坐下来一点儿一点儿地教你数学知识，从1＋1=2开始，看看到底你能学懂多少。”
后来，我决定把这个疯狂的想法付诸实践，于是我写了这本书。在这本书里，我会带领读者们走过一段有趣的数学旅程，了解数学的各种元素，从幼儿园的数学知识到研究生院的数学知识。这个旅程不仅是为我的那位朋友设计的，也是为任何想了解数学的美丽和趣味的人所设计的。别担心，这本书并不是要帮你补习你从小到大落下的数学功课，而是想给你提供一个崭新的视角，让你重新了解和欣赏数学的美。我希望这本书能给广大对数学感到恐惧、陌生或是不解的成年读者提供一些新的启发和新的感觉。我想要告诉这些读者的是：第一，数学到底是什么？第二，为什么了解数学的人会觉得数学如此美丽和迷人？
在这本书里，我会告诉大家：迈克尔·乔丹的灌篮如何完美地诠释了微积分的原理。我会给大家举出一个简单却非常惊奇的例子，告诉你如何理解几何学的基本定理——勾股定理。我会试着帮你解开一些生活中大大小小的谜团：O·J·辛普森到底有没有犯下杀妻罪行？怎样翻转床垫才能最大化地延长床垫的寿命？结婚之前，到底谈多少次恋爱才最合理？我还会告诉你，为什么同样是无穷大，有的无穷大却比其他的无穷大更大？
其实，我们的生活中充满了数学，是否能看到它们，取决于你有没有一双善于发现的眼睛。在我们的数学之旅中，我会充当你们的导游：我会带你们看到斑马身上条纹中的正弦波，会带你发现《独立宣言》中的欧几里得定理；会向你展现第一次世界大战硝烟中负数的身影。我还会告诉你们，数学的最新进展如何影响着你我每天的生活：当我们在互联网上搜索好口碑的餐馆时，当我们试图理解股市的大起大落时（并且努力不被这些大风大浪所颠覆），我们其实都在接触着数学的最前沿知识。
出于一种数字上的巧合，我在我50岁生日那天决定开始写作这本关于数学的书。在那个伟大的日子里，《纽约时报》的专栏编辑戴维·希普利正好请我共进午餐（他完全不知道那是一个伟大的日子）。在吃饭的过程中，希普利编辑问我是否有兴趣写一个数学专栏，与读者分享关于数学的一些心得。我立刻想起了我的那位艺术家朋友。我想，很多公众应该都对数学抱有恐惧和陌生的态度吧，这不是太可惜了吗？我了解数学的迷人之处，也知道了解数学以后所能体验到的巨大乐趣，如果能把这些内容分享给大家，该是一件多么美好的事情！我不仅想把数学的美分享给我的那位求知若渴的艺术家朋友，也想把这种美分享给所有对数学感兴趣的人们。所以，我立刻接受了希普利编辑的邀请，决定着手写作这个专栏。
于是，在2010年1月底，“数学元素”专栏在网上面世了。这个专栏一共连载了15周的时间。这些文章刊出之后，读者的反响极为强烈，各个年龄层的读者给我发来了雪片般的邮件。在这些来信的读者中，有很多是学生和教师，还有一些是有好奇心的公众。很多人都表示，自己曾对数学有过兴趣，但却因为种种原因，在人生的某个时刻和数学告别了。很多人表示，放弃数学以后，他们常常觉得自己似乎错过了什么重要的东西，他们希望能有一个新的契机，重新找到那样失去的东西——重新了解和亲近数学。最令我感动的是，有很多为人父母的读者给我发来邮件，感谢我帮助他们向他们的孩子解释了什么是数学；他们还说，在这个过程中，他们自己对数学也有了新的了解和认识。就连我的同事和数学界的朋友也似乎挺喜欢看我写的东西，在他们不给我提意见的时候。（又或者给我提意见的时候，才是他们获得最大乐趣的时候。）
这一系列的经历都让我意识到了一件事情：虽然说起来似乎人人都讨厌数学，但是其实公众仍有一颗渴望了解数学的心。这种渴望是很微妙的，也是一直被出版界的朋友们所忽视的。虽然很多人都会提到他们读书的时候是多么讨厌数学，但其实他们也想要了解数学的奥妙，体会数学的美和乐趣。而且一旦入了门，他们甚至可以立刻成为数学的狂热爱好者！
于是，我决定写作本书。在这本书里，我想向大家介绍一些数学历史上最伟大、最充满智慧、最有影响力的思想。本书每个章节的篇幅都不长，相互之间也保持了相对的独立性，有些章节是直接从我为《纽约时报》写作的专栏文章里摘选出来的。所以，你可以随时随地挑出你最感兴趣的章节来阅读，而不一定要从头到尾一口气读完。如果你对某一个问题特别感兴趣，我在本书的最后为你准备了详细的资料，你可以从中找到本书相关的细节，方便你进行进一步的阅读和探索。
当然，我知道有很多读者更喜欢一段系统性的、有条不紊的、完整的数学之旅。为了满足这些读者的需要，我把本书分成了6个部分，每一部分又分为若干章，这种写作结构想必大家并不陌生。
第一部分是“数字”。在这一部分中，我将以幼儿园和小学水平的一些数学内容作为我们这趟数学之旅的开端。在这一部分中，你将看到，数字给我们的生活提供了多少便利，在我们描述世界、理解世界的过程中，数字又有着多么巨大的神秘力量。
第二部分是“数字之间的关系”。在这一部分中，我们的着眼点将从单个的数字转移到数字之间的关系上。数字之间的关系是代数的核心。为什么数字之间的关系如此重要？因为只有理解了数字之间的关系，我们才能开始描述和理解世界上五花八门的复杂问题：因果关系，供需关系，剂量和疗效之间的关系等。理解了这些问题，我们才能慢慢地拨开迷雾，看清世上的万事万物是如何互相联系、互相影响的。如果不搞清楚这些问题，就无法了解这个多姿多彩的复杂世界。
第三部分是“形状”。在这一部分中，我们离开了数字和符号的领域，来到形状和空间的世界。是的，我们要讲到几何学和三角学了。除了描述所有我们能看到的物体的形态以外，几何学和三角学还把数学提升到了一个新的高度：通过逻辑推理和证明，构建出一个更为严谨和严密的数学世界。
第四部分是“变化”。在这一部分中，我们开始介绍微积分。微积分可能是数学中最有影响力、最硕果累累的一个分支了。正是因为有了微积分，人类才有能力预测行星的运动、潮汐的涨落、宇宙和人类身上发生的一切连续性的变化。在这个部分中，我们还会谈到无穷大的概念。正是因为聪明的人类成功地驯服了“无穷大”这只怪兽，才使得微积分的发明成为可能。借助“无穷大”这只怪兽的力量，微积分一下子解决了好多先贤智者一直无法解决的难题。凭借这一利器，人类势如破竹地攻克了许多科学难关，最终成功地开创了现代世界。
第五部分是“数据”。在这一部分中，我们会谈到概率论、统计学、网络与数据挖掘等问题。这些都是数学学科中相对“年轻”的分支。为什么我们要研究统计学、概率论、网络和数据挖掘呢？因为生活中总是充满了很多难解的谜题：机会、运气、不确定性、风险、波动、随机性、各种因素间错综复杂的联系等。通过阅读这一部分的内容，你会发现，只要使用合适的数学工具，运用正确的数据，我们就能从看似一团乱麻的世界中，寻找到规律和意义。
在数学之旅的最后一程，我会带大家来到本书的第六部分：“前沿”。在这一部分中，我会向大家介绍数学研究的最前沿进展，带大家欣赏已知和未知的世界。我们会再次谈到前文中已经说过的问题：数字、数字之间的关系、形状、变化，以及无穷大。但是，“故地重游”的时候，我们会用更深邃、更现代的眼光，来审视这些我们已经熟悉的“风景”。
好了，以上就是此次数学之旅的行程概要。我希望所有沿途的“风景”至少能给你带来一样东西：乐趣。在我们的旅程中，会有很多让你大呼“原来如此！”的恍然大悟的时刻。那么，你准备好了吗？让我们一起开始这个精彩纷呈的旅程吧。
千里之行，始于足下，我们的旅程也会从最简单的部分开始。让我们先从数数这项最简单的技能开始，走进数学的魔法世界。