第6章 关系推理

一、关系命题

关系命题是断定事物对象之间的关系的命题。例如：

（1）张三和李四是同学。

（2）有些人认识那位司机。

（3）甲和乙是同学。

关系命题在结构上由关系者项、关系项和量项组成。关系者项是表示关系命题中事物对象的概念，如上例（1）中的“张三”和“李四”；关系项是表示关系命题中事物对象之间的关系的概念，如上例（2）中的“认识”；量项是表示关系命题中主项的数量范围的概念，如上例（2）中的“有些”。关系项有二元关系项、三元关系项等，因此，关系命题也可以有二元关系命题、三元关系命题等。这里，我们主要讨论二元关系命题。二元关系有许多性质，我们需要掌握的主要是对称性和传递性。

二、关系的对称性

关系的对称性是指当事物对象a与b具有某种关系R时，b与a是否也具有这种关系R。

1.如果b与a一定有关系R，则关系R就是对称的。例如，“是同学”、“是朋友”、“等于”、“相邻”、“在……附近”、“离……不远”、“相对立”、“相矛盾”等关系都是对称的。

2.如果b与a一定没有关系R，则关系R就是反对称的。例如，“大于”、“小于”、“多于”、“早于”、“侵略”、“战胜”、“在……之上”、“是……父亲”等关系都是反对称的。

3.如果b与a不一定有关系R，则关系R就是非对称的。例如，“喜欢”、“爱”、“认识”、“理解”、“信任”、“帮助”、“赞成”等关系都是非对称的。

三、关系的传递性

关系的传递性是指当事物对象a与b具有某种关系R，并且b与c也具有这种关系R时，a与c是否也有这种关系R。

1.如果a与c一定有这种关系R，则关系R就是传递的。例如，“大于”、“小于”、“等于”、“早于”、“平行”、“真包含”、“在……以南”等关系都是传递的。

2.如果a与c一定没有这种关系R，则关系R就是反传递的。例如，“比……年长两岁”、“是……父亲”等关系都是反传递的。

3.如果a与c不一定有这种关系R，则关系R就是非传递的。例如，“认识”、“喜欢”、“战胜”、“侵略”、“相邻”、“离……不远”、“帮助”、“爱”等关系都是非传递的。

四、关系推理

1.根据关系是对称的，可以进行对称关系推理。例如，甲与乙是同学/乙与甲是同学

2.根据关系是反对称的，可以进行反对称关系推理。例如，甲是乙的父亲/乙不是甲的父亲

3.根据关系是传递的，可以进行传递关系推理。例如，甲比乙的年龄大乙比丙的年龄大/甲比丙的年龄大

4.根据关系是反传递的，可以进行反传递关系推理。例如，甲是乙的父亲乙是丙的父亲/甲不是丙的父亲

案例1.4.1

甲和乙任何一人都比丙、丁高。

如果上述为真，再加上以下哪项，可得出“戊比丁高”的结论？

A。戊比甲矮

B。乙比甲高

C。乙比甲矮

D。戊比丙高

E。戊比乙高

解析 正确选项是E。由题干可以知道，甲比丙高、甲比丁高、乙比丙高、乙比丁高，如果要推出“戊比丁高”的结论，需要增加“戊比甲高”或“戊比乙高”作为前提。显然，选项E“戊比乙高”正好可以与题干中的“乙比丁高”进行传递关系推理，从而得出结论“戊比丁高”。

案例1.4.2

某学术会议正举行分组会议。某一组有八个人出席。分组会议主席问大家原来各自认识与否。结果是全组中仅有一个人认识小组中的三个人，有三个人认识小组中的两个人，有四个人认识小组中的一个人。

若以上统计属实，则最能得出以下哪项结论？

A。会议主席认识小组中的人最多

B。此类学术会议是第一次举行，大家都是生面孔

C。有些成员所说的认识可能仅是电视上或报告会上见过而已

D。虽然会议成员原来的熟人不多，但原来认识的都是至交

E。通过这次会议，小组成员都相互认识了，以后见面就能直呼其名了

解析 正确选项是C。“认识”是一种非对称性关系，当甲认识乙时，

乙却不一定认识甲。题干中表明的认识关系总共有：1×3 3×2 4×1=13.为单数，所以，至少有一种认识关系仅仅是单方面的。

案例1.4.3

在某大学的某届校友会中，有10个会员是湖南籍的。毕业数年后这10个同学欢聚一堂，发现他们之间没有人给3个以上的同乡会员写过信，给3个同乡会员写过信的人只有1人，仅给2个同乡会员写过信的有3人，仅给1个同乡会员写过信的有6人，有一个会员收到了4个同乡会员的来信。

如果上述断定为真，以下各项关于这10个会员之间通信的断定中，哪项一定为真？

Ⅰ，每人都给其他同乡会员写过信

Ⅱ，每人都收到其他同乡会员的来信

Ⅲ，至少有一个会员没给所收到的每封来信回信

A。仅仅Ⅰ

B。仅仅Ⅱ

C。仅仅Ⅲ

D。仅仅Ⅰ和Ⅲ

E。Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ

解析 正确选项是D。“写信”是一种非对称性关系，你给别人写信，别人却不一定给你写信。根据题干可知，有1人给3个同乡会员写过信，有3人分别给2个同乡会员写过信，有6人各自给1个同乡会员写过信。这样，共有10人给同乡会员写过信，他们总共写了3 6 6=15封信。所以，选项Ⅰ一定为真。选项Ⅲ也一定是真的，因为10个同乡会员总共写了15封信，为单数，所以，至少有一个会员没给所收到的每封来信回信。Ⅱ不一定真，因为假如有1人收到4封信，又有2人各收到3封信时，则其他7人就只能收到5封信，这样，未必每人都能收到来信。

案例1.4.4

某大学举办围棋比赛。在进行第一轮淘汰赛后，进入第二轮的6位棋手实力相当，不过，还是可以分出高下。在已经进行的两轮比赛中，棋手甲战胜了棋手乙，棋手乙战胜了棋手丙。明天，棋手甲和丙将进行比赛。

请根据题干，从逻辑上预测比赛结果。

A。棋手甲肯定会赢

B。棋手丙肯定会赢

C。两人将战成平局

D。棋手甲很可能赢，但也有可能输

解析 正确选项是D。注意，“战胜”是一种非传递性关系。