第2章 古代数学发展概述

在世界四大文明古国中，中国数学持续繁荣时期最为长久，它是中国传统科学文化百花园中的一朵奇葩，是世界文化宝库中一颗璀璨的明珠。从公元前后至14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰。

数学是中国古代最为发达的学科之一，通常称为算术，即“算数之术”。现在，算术是整个数学体系下的一个分支，其内容包括自然数和在各种运算下产生的性质、运算法则以及在实际中的应用。可是，在中国古代数学发展的历史中，算术的含义比现在广泛得多。在我国古代，算是一种竹制的计算器具，算术是指操作这种计算器具的技术。算术一词正式出现于《九章算术》中，泛指当时一切与计算有关的数学知识，它包括当今数学教科书中的算术、代数、几何、三角等各方面的内容。后来，算术又称为算学、算法，直到宋元时代，才出现了“数学”这一名词，在当时数学家的著作中，往往数学与算学并用。当然，这里的数学仅泛指中国古代的数学，它与古希腊数学体系不同，侧重研究算法。

从19世纪起，西方的一些数学学科，包括代数、三角等相继传入我国。西方传教士多使用数学，日本后来也使用数学一词，中国古算术则仍沿用“算学”。1937年，清华大学仍设“算学系”。1939年中国数学名词审查委员会为了统一起见，才确定专用“数学”，直到今天。

中国是著名的四大文明古国之一，数学的发展有着源远流长的历史。我们的祖先在从事社会生产劳动的活动中，逐渐有了数量的概念，认识了各种各样简单的几何图形。特别是随着农业的逐渐发展，需要与之相应的天文、历法，需要知道适宜于农业的季节安排，这些都离不开数学。土地面积、粮仓大小、建筑材料的长短和方位的测定等等也都离不开数学知识。

中国社会的发展具有与西方社会不同的特色，它较早地进入封建社会，又长期地停留在封建制之中，因而中国古代数学发展有着自身的特点。我们可以把中国古代数学的发展历程划分为四个时期：先秦萌芽时期、汉唐奠基时期、宋元全盛时期、明清中西数学融合时期。

（一）先秦萌芽时期（从远古到公元前200年）

原始社会末期，随着私有制和以货易货交易的产生，数与形的概念开始形成并有了一定的发展。如在距今六千多年的仰韶文化遗址出土的陶器上，就已经刻有表示1、2、3、4的符号；在半坡文化遗址出土的陶器上有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，而且半坡遗址的房基址都是圆形和方形的。为了画出方圆、确定平直，我们的祖先还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。事实上到了原始社会末期和奴隶制早期，我们的祖先已经开始用文字符号取代结绳记事了。据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已经使用了这些工具。

大约在公元前2000年的时候，黄河流域的中下游一带，开始出现了中国历史上的第一个奴隶制王朝—夏。伴随着奴隶制而出现的社会分工，使得大规模的土木工程、水利建设成为可能。在我国历史上的第二个奴隶制王朝—商朝，就已经有了比较成熟的文字，这就是刻在龟甲和兽骨上的甲骨文。在甲骨文中已经有了一套十进制的数字和记数法，其中最大的数字为三万。例如“八日辛亥戈伐二千六百五十六人”就是说八月辛亥那一天，在战争中杀了2656个俘虏。

我国古代的记数法，从一开始就采用了十进制，这一点比其他文明所采用的记数法有着显著的优越性。与此同时，商人用十个天干和十个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等六十个名称来记六十年的日期。在周代又把以前用阴、阳符号构成表示八种事物的八卦发展成六十四卦，表示六十四种事物。西周时期青铜器上面的文字—金文中的记数法和商代的完全一样，一直沿用到今天。

除了整数之外，我国对分数的认识也是比较早的，同时还掌握了整数和分数的四则运算。在公元前1世纪左右的《周髀算经》中提到了西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从9岁开始便要学习数字和记数方法，他们要接受礼、乐、射、御、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。

汉代人韩婴在《韩诗外传》中记载过这样一个故事：齐桓公招贤纳士，却整年也没有人来。后来东野地方有个人求见，说自己会背“九九”乘法歌。齐桓公调笑他说：“会背九九歌，算什么本事呢？”那个人说：“背九九歌确实不算什么本事，但您尚且以礼相待，还怕比我高明的人不来吗？”果然一个月之后，四面八方的贤人接踵而来了。这个故事说明在公元前7世纪，九九歌诀在民间已经相当普及了。在《管子》、《荀子》等一些古书中也都有“九九”中的句子记载。另外，在春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法使用十进位制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。根据文献记载以及钱币上铸造出的数字纹样和陶器上留下的陶文记载，最迟在春秋战国时期，人们已经十分熟练地运用算筹进行计算了。出土于战国时期楚国的墓葬中就有竹制的算筹实物。

战国时期的百家争鸣，思想大解放，促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接或者间接地与数学有关。“名家”认为经过抽象以后的名词概念和它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”的观点，把“大一”定义为“至大无外”，“小一”定义为“至小无内”，还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。“墨家”则认为名来源于物，名可以从不同方面不同深度反应事物。还给出了一些与数学相关的概念，如圆、方、平、直、次、端等。

（二）汉唐奠基时期（公元前200－1000年）

公元前221年，秦始皇灭六国，创立了中国历史上第一个中央集权的封建专制国家。汉承秦制，巩固和完善了这一制度，随着生产力的不断提高，各种科学和技术也不断向前发展。农业生产需要掌握季节的变迁，必然推动天文和数学的研究。战国时期，人们就已经掌握了设定每年为日的“四分历”。数学著作同时也是天文学著作的《周髀算经》在这样的历史背景下出现了，包括像这样复杂的计算，还包括利用勾股定理进行测量的一些计算。

秦汉是封建社会的巩固和上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学的体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已经成为了一个专门的学科。随着田亩测量和粮食运输的频繁，建筑工程和赋税征收的需要，又出现了《九章算术》这样总结性的数学著作。它是中国古代数学最重要的著作，是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结。就其数学成就来说，堪称为世界数学名著，例如分数四则运算、比例算法、面积和体积计算等都比较先进。它还引入了负数的概念和运算法则，这在世界数学史上是最早的。《九章算术》的出现标志着中国古代数学体系的形成，它对中国以后数学发展的影响，就如同欧几里德的《几何原本》对西方数学的影响一样，非常深刻。

中国古代数学的进一步发展是在魏晋南北朝时期，这一时期封建皇权统治相对薄弱，而且在魏晋时期出现的玄学，不为儒家思想所束缚，思想比较活跃，诘辩求胜，运用逻辑思维，分析义理，这些都有助于数学理论的提高。成就突出反映在三国时期的赵爽为《周髀算经》作的注、曹魏末年和晋初的刘徽为《九章算经》作的注和他的《海岛算经》上。南北朝时期的祖冲之和他的儿子祖暅更是在刘徽的《九章算术注》的基础上把传统数学大大向前推进了一步。他们完成的主要数学工作有计算出圆周率在3.1415926～3.1415927之间，提出了祖暅定理、二次和三次方程的解法等。

隋炀帝好大喜功，大兴土木，这在客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的《缉古算经》主要讨论的就是土木工程中土方、工程分工、验收等的计算问题。唐初封建统治者继承了隋朝体制，在国子监设立了数学的专门科目，并规定了招生、学习、毕业和考试等制度，指定“算经十书”等为教科书。这期间由唐朝数学家李淳风奉命注释的《算经十书》最为有名，奠定了中国古代数学的基础，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面有很大意义。

算筹作为中国古代的主要计算工具，具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹时占用面积大、运筹速度快时容易摆弄不正造成错误等缺点。珠算是对算筹的重要改革，它克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点。唐中期后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从《新唐书》等文献可以看出此次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘、除法可以在一个横列中进行，适合用于算筹也适合用于珠算。

（三）宋元全盛时期（1000年—14世纪初）

960年，北宋王朝的建立结束了五代十国长期割据的混乱局面，农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种情况下得到广泛应用，这些都为数学发展创造了良好条件。中国古代数学在宋、元又有了重大发展，出现了一批著名的数学家和数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》等。他们的工作在很多领域都取得了具有世界意义的成就。同时期中世纪的欧洲，科学停滞不前，比之我国真是相形见绌多了。

从开平方、开立方到四次以上的开方，在认识上是一个飞跃，实现这个飞跃的就是我国古代著名数学家贾宪。贾宪发现了二项系数表，并掌握了和英国数学家Horner方法完全相同的开方方法，其中贾宪的三角形比西方的Pascal三角形早提出了六百余年。

秦九韶的《数书九章》是一部划时代的巨著，其中的“大衍求一术”（不定方程的中国解法）及高次代数方程的数值解法，是宋、元数学的一项重大成就，在世界数学史上占有崇高的地位。

中国宋、元的“天元术”，相当于现在的代数学或者方程论。李冶《测圆海镜》给出列方程的方法、步骤，和现在一样。杨辉对纵横图结构进行了研究，揭示了洛书（幻方）的本质。郭守敬创立了三次内插法，早于西方约四个世纪，他的另一项贡献是推进了球面三角学。朱世杰将天元术推广成四元术，对郭守敬的差分法也大加发挥。四元术就是四元高次方程理论，用天、地、人、物表示四个未知数，有些题的次数高达15次，这在今天也是很罕见的。

中国古代算法改革的高潮也出现在宋元时期，历史文献中记载有大量这个时期的实用算术书目，改革的主要内容仍是乘除法。同时，穿珠算盘可能在北宋已经出现。总而言之，从北宋到元代中叶，我国数学有了一套严整的系统和完备的算法，达到了我国古代数学的全盛时期。

（四）明清中西数学融合时期（14世纪初－1912年）

宋、元是中国数学的极盛时期，可是在朱世杰之后，数学发展却突然中断。原因是多方面的，仅从社会条件来说，元中叶以后就存在着许多不利于数学发展的因素。元朝统治时期，社会经济遭受严重摧残，言论、出版、学术都受到统制和禁止。明朝实行极端的君主专制，宣传唯心主义哲学，实施八股考试制度，宦官专权，政治腐败，全无学术讨论的氛围。清初发生了历法上新旧之争，拥护新法的官员惨遭杀身之祸，再加上文字狱迭起，一字之差就可能引来杀身灭族之灾，学者完全没有发表意见的自由。

反观西方，中国停顿落后之时，欧洲正逐步迈入资本主义社会，近代数学受生产力的刺激快速发展起来。一进一退，中国数学和西方数学差距越拉越大了。

明代在西方数学输入之前，最大的成就是珠算的完善和普及。算盘以其构造简单、价格低廉、计算迅速，受到广大群众的欢迎，至今仍盛行不衰。1592年，明程大位著《直指算法统宗》十七卷。这是一部用珠算盘为计算工具的应用数学算书，此书流传甚广，影响极大。

1581年，意大利传教士利玛窦来中国传教，先后翻译了一些天文数学书籍。1606年，他和徐光启合作翻译了《几何原本》前六卷，还编译了《同文算指》一书，介绍西方算术的知识。其中影响最大的是《几何原本》，它是中国第一部数学翻译著作，绝大部分数学名词都是首创的，许多至今仍在沿用。《几何原本》是明清两代数学家必读的数学书。这是中国近代翻译西方数学书籍的开始，从此打开了中西学术交流的大门，是中国卷入世界潮流的序曲。假如翻译工作能持续下去，必能产生更大的影响。可惜自康熙以后，清政府采取了闭关锁国政策，中西交流中断了。

这一时期，清代数学家对西方数学做了大量的会通工作，并取得了一些独创性的成果。这些成果和传统数学比是有进步的，但是和同时期的西方数学比则是明显落后的。

1840年鸦片战争以后，西方近代数学开始传入中国，中国数学便转入以学习西方数学为主的时期。首先是英国人在上海开设墨海书馆，介绍西方数学。第二次鸦片战争后，曾国藩、李鸿章等开展“洋务运动”，也主张介绍和学习西方数学，组织翻译了一批近代数学著作。其中比较重要的有李善兰与伟烈亚力翻译的《代数学》《代微积拾级》等，比李善兰稍晚的另一位数学家华蘅芳也翻译了《微积溯源》《决疑数学》等。在翻译西方数学著作的时候，中国学者也进行一些研究，如李善兰通过研究传统数学而得到的一系列组合恒等式，其中包括驰名中外的“李善兰恒等式”。

中国现代数学的真正开始是在辛亥革命以后，兴办现代高等教育是其开始的标志。中国辉煌的古代数学史成为过去，中国数学史翻开了崭新的一页。